4.5 Математика

Предговор

Втора част на курса по Математически анализ включва теория на интеграла на функция на една променлива. Включени са класическите раздели от анализа: неопределен интеграл и методи за неговото пресмятане; определен (Риманов) интеграл; несобствен интеграл; приложения на определения интеграл в анализа, геометрията, физиката.

Предлаганите лекционни записки са написани въз основа на четените от автора лекции по Математически анализ -- Интегрално смятане на функция на една променлива пред студенти от специалностите ``Математика'', ``Приложна математика'', ``Математика и информатика'', ``Информатика'' във факултета по Математика и информатика ``Физика и математика'', ``Инжинерна физика'' във факултета по Физика на Пловдивския университет ``Паисий Хилендарски''. Лекционните записки са част от учебните помагала по проекта BG051PO001-4.3.04-0064 ``Пловдивски електронен университет (ПеУ): национален еталон за провеждане на качествено е--обучение в системата на висшето образование''. В интернет страницата на ``Пловдивски електронен университет'' са включени също така тестове по всяка тема и файлове с кода на Maple, които илюстрират прилагането на компютър за решаване на задачи по Математически анализ.

Четири основни елемента присъстват в лекционните записки: пълно излагане на основните резултати по Математически анализ -- интегрално смятане на функция на една  променлива; илюстрация на определенията и теоремите с примери и чертежи; използване на компютър за решаване на задачи; представяне на  кратка биография на математиците, допринесли за всеки един от изучаваните резултати в курса.

При излагането на теорията сме се постарали да разгледаме всички най-съществени понятия и твърдения от Математическия анализ - интегрално смятане на функция на една променлива. Илюстрирали сме понятията и твърденията както с лесни примери, така и с по--сложни примери. Демонстрирали сме приложение на теоремите в задачи от други клонове на естествените и природните науки. Чертежите са изработени или на Maple или на GeoGebra. Динамичната среда на GeoGebra позволява да илюстрираме примерите, в които има динамика. Развитието на Алгебричните компютърни системи (ACS) позволява да се извършват сложни и трудоемки математически пресмятания с помощта на компютър. Ето защо в настоящите лекционни записки сме демонстрирали възможностите на ACS за решаване на задачи по математически анализ. Запознаваме студентите с вградените в ACS функции, които дават крайни резултати на поставените задачи по математически анализ. Дефинираме процедури в Maple, които следват стъпка по стъпка пресмятанията, които би трябвало да се извършат на ръка. Това ни позволи да включим сложни примери, за които не би имало време да бъдат разгледани в часовете по Математически анализ. 

При създаването на Лекционния курс сме използвали основно три учебника: М. Фихтенгольц ``Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3 тома.'', В. Илин, В. Садовничи, Бл. Сендов ``Математически анализ в 2 тома.'' и П. Джаков, Р. Леви, Р. Малеев, Ст. Троянски ``Диференциално и интегрално смятане''. Разработихме този лекционен курс, за да обогатим вече споменатите учебници с използването на ACS при изучаването на Математически анализ.

Настоящият учебник предлага интерактивно обучение по геометрия в динамична среда. Чертежите са изработени с помощта на специализирания динамичен геометричен софтуер Sam и се съдържат в Библиотеката, която е част от учебника. Студентите могат да експериментират върху чертежите, да проследяват последователността на построенията, да творят, използвайки възможностите на софтуера. Кадри от динамичните чертежи присъстват в текстовата част на учебника, за да подпомагат читателя при началния прочит.

Упражненията със задачи, касаещи разглеждания теоретичен материал, го следват непосредствено. Изборът на задачите осъществява вертикална интеграция на обучението във висшите и средни училища.

Учебникът е структуриран в две части: проективна геометрия и дескриптивна геометрия.

В първата част на настоящия учебник е изградено аксиоматично проективното пространство и са изучени проективностите между едноизмеримите фигури, колинеациите и корелациите  между двуизмеримите фигури, коничните сечения. Проективните, афинните и метричните свойства на коничните сечения са подробно изложени и представени като инвариантни свойства съответно на проективната, афинната и метричната групи преобразования. Представена е проективната форма на евклидовата метрика и възможностите по синтетичен път да се посочат и други метрики, различни от евклидовата.

Втората част на учебника е с акцент върху аксонометрия: видове аксонометрични проекции, изобразяване на фигури, възможности за оптимизиране на чертожната работа. Темата „Взаимно пресичане на призми и пирамиди” се изучава с помощта на специализиран софтуер Sam-full, позволяващ проследяване на всички стъпки в решението и възможности за импровизации върху поставена тема.

Предлаганите лекционни записки са написани въз основа на четените лекции по Синтетична геометрия в динамична среда пред студенти от специалностите „Математика”, „Математика и информатика” (Факултет по математика, информатика и информационни технологии), „Физика и математика” (Факултет по Физика и инженерни технологии), като са разширени и адаптирани за нуждите на проекта BG051PO001-4.3.04-0064 „Пловдивски електронен университет (ПеУ): национален еталон за провеждане на качествено е-обучение в системата на висшето образование.”

Авторите